Ratkaisu.(a) Nyt \([x,x^3-2x]\) koostuu muotoa
$$
ax+b(x^3-2x),\quad a,b\in\mathbb{R},
$$
eli
$$
(a-2b)x+bx^3,\quad a,b\in\mathbb{R},
$$
eli
$$
a'x+b'x^3,\quad a',b'\in\mathbb{R},
$$
olevista polynomeista. Koska \(x^2\notin[x,x^3-2x]\), niin \([x,x^3-2x]\notin\mathcal{P}_3\).
(b) Vastaavasti \([1,x,x^3-x^2]\) koostuu muotoa
$$
a\cdot 1+bx+c(x^3-x^2),\quad a,b,c\in\mathbb{R},
$$
eli
$$
a+bx+(-c)x^2+cx^3,\quad a,b,c\in\mathbb{R},
$$
olevista polynomeista. Koska \(x^2+x^3\notin [1,x,x^3-x^2]\), niin \([1,x,x^3-x^2]\neq\mathcal{P}_3\).