Tehtävä 11.1.4. Näytä, että pystyvektorit
$$
\bar{e}_1
=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix},\quad
\bar{e}_2
=\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix},\quad
\bar{e}_3
=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}
$$
muodostavat avaruuden \(\mathbb{R}^3\) lineaarisesti riippumattoman osajoukon.
Ratkaisu. Ratkaistaan skalaarit yhtälöstä
$$
a\bar{e}_1+b\bar{e}_2+c\bar{e}_3=\bar{0}
$$
eli
$$
a\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}
+b\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix}
+c\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
$$
eli
$$
\begin{pmatrix}
a\\
0\\
0
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
0\\
b\\
0
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
0\\
0\\
c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
$$
eli
$$
\begin{pmatrix}
a\\
b\\
c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}.
$$
Koska yhtälöllä on vain triviaali ratkaisu \(a=b=c=0\), niin vektorit \(\bar{e}_1,\bar{e}_2,\bar{e_3}\) ovat lineaarisesti riippumattomia.
Huomautus.
$$
\det\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
=1\neq 0.
$$