Kurssi

Ratkaisu. Ratkaistaan skalaarit yhtälöstä $$a\bar{e}_1+b\bar{e}_2+c\bar{e}_3=\bar{0}$$ eli $$a\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +b\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} +c\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$ eli $$\begin{pmatrix} a\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0\\ b\\ 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$ eli $$\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}.$$ Koska yhtälöllä on vain triviaali ratkaisu $a=b=c=0$, niin vektorit $\bar{e}_1,\bar{e}_2,\bar{e_3}$ ovat lineaarisesti riippumattomia.

Huomautus. $$\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =1\neq 0.$$