Ratkaisu.(a) Valitaan \(\bar{a}=(2,1,4)^T\), jolloin tason vektoriyhtälö on
$$
\bar{x}=
\begin{pmatrix}
2\\
1\\
4
\end{pmatrix}
+s\left(
\begin{pmatrix}
1\\
2\\
2
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
2\\
1\\
4
\end{pmatrix}
\right)
+t\left(
\begin{pmatrix}
2\\
3\\
1
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
2\\
1\\
4
\end{pmatrix}
\right),\quad s,t\in\mathbb{R},
$$
eli
$$
\bar{x}
=\begin{pmatrix}
2\\
1\\
4
\end{pmatrix}
+
s\begin{pmatrix}
-1\\
1\\
-2
\end{pmatrix}
+
t\begin{pmatrix}
0\\
2\\
-3
\end{pmatrix},\quad s,t\in\mathbb{R}.
$$
Koordinaattimuoto saadaan asettamalla
$$
\begin{vmatrix}
x_1-2 & -1 & 0\\
x_2-1 & 1 & 2\\
x_3-4 & -2 & -3
\end{vmatrix}=0.
$$
Determinantin laskemisen ja sieventämisen jälkeen saadaan yhtälöksi
$$
x_1-3x_2-2x_3+9=0.
$$
(b) Menetellään kuten (a)-kohdassa, mutta nyt toinen suuntavektori saadaan suoraan yhtälöstä. Siis
$$
\bar{x}=
\begin{pmatrix}
2\\
2\\
3
\end{pmatrix}
+s\left(
\begin{pmatrix}
-1\\
4\\
2
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
2\\
2\\
3
\end{pmatrix}
\right)
+t\begin{pmatrix}
5\\
2\\
3
\end{pmatrix}
,\quad s,t\in\mathbb{R}.
$$
Koordinaattimuoto saadaan asettamalla
$$
\begin{vmatrix}
x_1-2 & -3 & 5\\
x_2-2 & 2& 2\\
x_3-3 & -1 & 3
\end{vmatrix}=0.
$$
Determinantin laskemisen ja sieventämisen jälkeen saadaan yhtälöksi
$$
2x_1+x_2-4x_3+6=0.
$$