Ratkaisu.(a)
Koska diagonaaliset \(2\times 2\)-matriisit ovat muotoa
$$
\begin{pmatrix}
a & 0\\
0 & b
\end{pmatrix}
=a
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}
+b
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix},\quad a,b\in\mathbb{R},
$$
niin eräs kanta on
$$
A=\left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\right\}.
$$
(b)
Koska \(2\times 2\)-yläkolmiomatriisit ovat muotoa
$$
\begin{pmatrix}
a & b\\
0 & c
\end{pmatrix}
=a
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}
+b
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}
+c
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
,\quad a,b,c\in\mathbb{R},
$$
niin eräs kanta on
$$
B=\left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\right\}.
$$
(c)
Koska symmetriset \(2\times 2\)-matriisit ovat muotoa
$$
\begin{pmatrix}
a & b\\
b & c
\end{pmatrix}
=a
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}
+b
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
+c
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
,\quad a,b,c\in\mathbb{R},
$$
niin eräs kanta on
$$
C=\left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\right\}.
$$
Kohdassa (a) löydetty joukko \(A\) todella virittää diagonaalisten matriisien avaruuden, sillä mielivaltainen diagonaalinen matriisi pystyttiin esittämään joukon \(A\) alkioiden lineaarikombinaationa.
Joukon \(A\) lineaarista riippumattomuutta voi tutkia kirjoittamalla nollamatriisin \(O\) joukon \(A\) alkioiden lineaarikombinaationa.
$$
O=
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}
=a
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}
+b
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}.
$$
Tämän yhtälön ainoa ratkaisu on \(a=b=0\), joten joukko \(A\) on lineaarisesti riippumaton.
Vastaavasti voidaan täsmällisesti perustella, että \(B\) ja \(C\) ovat haluttujen avaruuksien kantoja.