Kurssi

Ratkaisu. Avaruuden $\mathbb{R}^3$ dimensio on $3$, koska sillä on standardi kanta $$\left\{ \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \right\}.$$ Vastaavasti avaruuden $\mathbb{R}^n$ dimensio on $n$.

Avaruuden $\mathbb{R}^{2\times 2}$, joka koostuu reaalialkioisista $2\times 2$-matriiseista, dimensio on $4$, koska sillä on kanta $$\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}.$$ Vastaavasti avaruuden $\mathbb{R}^{n\times m}$ dimensio on $n\times m$.

Avaruus $\mathcal{P}_2$ koostuu korkeintaan toista astetta olevista polynomeista. Siis avaruuden $\mathcal{P}_2$ dimensio on $3$, koska sillä on kanta $\{1,x,x^2\}$. Vastaavasti avaruuden $\mathcal{P}_n$ dimensio on $n+1$.