Avaruuden \(\mathbb{R}^3\) aliavaruuden dimensio ja kanta
Tehtävä 12.4.4. Mikä on lineaariavaruuden \(\mathbb{R}^3\) aliavaruuden
$$
U=
\left\{
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{pmatrix}\,:\,
x_1+2x_2-x_3=0
\right\}
$$
dimensio? Entä kanta?
Ratkaisu. Selvästi \(\bar{u}\in U\) jos ja vain jos
$$
\bar{u}
=
\begin{pmatrix}
a\\
b\\
a+2b
\end{pmatrix}
=a
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix}
+b
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
2
\end{pmatrix}.
$$
Näin ollen eräs aliavaruuden \(U\) virittäjä on \(A=\{(1,0,1)^T,(0,1,2)^T\}\). Koska yhtälön
$$
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
=a
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix}
+b
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
2
\end{pmatrix}
$$
ainoa ratkaisu on \(a=b=0\), niin joukko \(A\) on lineaarisesti riippumaton ja se on aliavaruuden \(U\) kanta. Siis \(\mathrm{dim}~U=\#A=2\).