luku5 |
luku6 |
luku7 |
Z
Antiderivaatta 1.
Etsitään monomin integraalifunktio.
Antiderivaatta 2.
Etsitään funktion \(\sin(5x)\) integraalifunktio.
Antiderivaatta 3.
Esimerkkifunktiolle löydetään useampia integraalifunktioita. Yleisesti, "integraalifunktio + vakio" on myös eräs integraalifunktio.
Antiderivaatta 4.
Esimerkkifunktiolle löydetään useampia integraalifunktioita, jotka vaikuttavat hyvin erilaisilta. Paljastuu, että nämä eroavat toisistaan pelkästään summattavalla vakiolla.
Antiderivaatta 5.
Tutustutaan integraalifunktion merkintätapaan. Merkintätapa helpottaa integraalifunktion etsimistä, sillä derivoinnin lineaarisuuden avulla etsiminen voidaan tehdä pala palalta.
5.0.2
Integroimiskaavat saadaan derivoimiskaavoista
Integroimiskaavoja.
Koska integrointi on derivoinnin käänteisoperaatio, derivoimiskaavoista saadaan helposti paljon integroimiskaavoja.
Arkussinin ja arkuskosinin derivaatta.
Etsitään arkussinin ja arkuskosinin derivaattojen lausekkeet. Tätä varten täytyy käyttää hyväksi trigonometrian kaavoja. Sovelluksena saadaan funktion \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) integroimiskaava.
Arkustangentin derivaatta.
Etsitään arkustangentin derivaatan lauseke. Tätä varten täytyy käyttää hyväksi trigonometrian kaavoja. Sovelluksena saadaan funktion \(\frac{1}{1+x^2}\) integroimiskaava.
Heittoliikkeen differentiaaliyhtälö.
Mallinnetaan heittoliikettä differentiaaliyhtälöllä. Ratkaistaan liikettä kuvaava differentiaaliyhtälö.
Toisen asteen differentiaaliyhtälö.
Ratkaistaan eräs toisen asteen differentiaaliyhtälö.
5.1.2
Summat ja sigma-merkintä, jatkuu
Aritmeettisen summan kaava.
Todistetaan aritmeettisen summan kaava, joka on yksinkertaisin esimerkki summakaavasta.
Neliöiden summan kaava.
Todistetaan neliöiden summan kaava. Kaavaa tarvitaan esimerkiksi, kun lasketaan käyrän \(y=x^2\) ja \(x\)-akselin välissä oleva pinta-ala Riemannin summilla.
Geometrisen summan kaava.
Todistetaan geometrisen summan kaava. Kaavaa tarvitaan esimerkiksi, kun lasketaan käyrän \(y=e^x\) ja \(x\)-akselin välissä oleva pinta-ala Riemannin summilla.
Baselin ongelma.
Treenataan indekseihin perustuvia merkintätapoja johtamalla luonnollisten lukujen käänteislukujen summa. Johdossa tarvitaan sinin sarjakehitelmää ja tuloesitystä äärettömänä tulona. Johdetaan summan kaava oivaltavasti, jolloin kuitenkin sivuutetaan paljon yksityiskohtia. (Mitä tarkoittaa äärettömän monen nollasta eroavan luvun summa? Mitä tarkoittaa äärettömän monen ykkösestä eroavan luvun tulo?) Kuuluisa matemaatikko Euler laski summan ensimmäisenä, vuonna 1734.
Wallisin tulo.
Treenataan indekseihin perustuvia merkintätapoja laskemalla ääretön tulo \(\frac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\cdot\frac{4\cdot 4}{3\cdot 5}\cdots\) Johdetaan summan kaava oivaltavasti, jolloin kuitenkin sivuutetaan paljon yksityiskohtia. (Mitä tarkoittaa äärettömän monen nollasta eroavan luvun summa? Mitä tarkoittaa äärettömän monen ykkösestä eroavan luvun tulo?) Kaavan todisti Wallis vuonna 1656.
Sarja osamurrolla 1.
Lasketaan muotoa \(\frac{1}{n(n+2)}\) olevien termien ääretön summa jakamalla termit kahteen osaan, jolloin ongelma yksinkertaistuu. Kyseessä on niinsanottu osamurtokehitelmä, jonka avulla voidaan laskea rationaalifunktioihin liittyviä laskuja, muun muassa integraaleja.
Sarja osamurrolla 2.
Lasketaan muotoa \(\frac{1}{n(n+k)}\) olevien termien ääretön summa jakamalla termit kahteen osaan, jolloin ongelma yksinkertaistuu. Kyseessä on niinsanottu osamurtokehitelmä, jonka avulla voidaan laskea rationaalifunktioihin liittyviä laskuja, muun muassa integraaleja.
Kosinin ääretön tulo.
Kosini voidaan esittää sekä sarjakehitelmänä että tulokehitelmänä. Kehitelmien kertoimia vertaamalla voidaan johtaa erään sarjan summa.
5.2
Pinta-alat summien raja-arvona
5.2.2
Pinta-ala-ongelman ratkaisu
5.2.4
Summan raja-arvon laskeminen
Ala- ja yläsumma.
Alasumma arvioi funktion kuvaajakäyrän \(y=f(x)\) ja \(x\)-akselin väliin jäävää pinta-alaa kuvaajakäyrän alapuolella olevilla suorakulmioilla. Yläsumma puolestaan kuvaajakäyrän huippujen korkeudelle ulottuvilla suorakulmioilla.
Yleinen Riemannin summa.
Yleisessä Riemannin summassa suorakulmioiden korkeudet määräytyvät joidenkin evaluaatiopisteiden eli tägien perusteella. Evaluaatiopisteiden ei tarvitse olla esimerkiksi osavälien päätepisteitä tai kuvaajakäyrien huippujen x-koordinaatteja.
Jaon hienontaminen.
Jos Riemannin summaan liittyvää jakoa hienontaa/tihentää, niin summa lähestyy kuvaajakäyrän ja \(x\)-akselin väliin jäävän pinta-alan suuruutta.
Määrätty integraali.
Alasummien lukuarvot ovat korkeintaan mikä tahansa yläsumma. Tätä ominaisuutta käyttäen voidaan määritellä funktion integroituvuus ja edelleen määrätyn integraalin arvo.
Nimityksiä määrättyyn integraaliin liittyen.
Määrättyyn integraaliin liittyy monia nimityksiä.
5.3.5
Yleiset Riemannin summat, esimerkkejä
5.4
Määrätyn integraalin ominaisuuksia
5.4.1
Integrointirajat ja lineaarisuus
Integraalin rajat.
Integraalin rajoja voidaan manipuloida.
integraalin lineaarisuus.
Summan integraali on integraalien summa. Vakion voi viedä ulos integraalista.
5.4.2
Arvioita sekä parillinen ja pariton funktio
Integraalien arvioita.
Suuremman funktion integraali on suurempi. Jos integrandista otetaan itseisarvo, saadaan vähintään yhtä suuri integraalin arvo.
Jensenin epäyhtälö.
Konveksien funktioiden avulla saadaan arvioita integraaleille.
parillinen ja pariton.
Jos integroidaan välin \([-a,a]\) yli, niin parittoman funktion integraalista tulee nolla ja parillisen funktion integraali on kaksi kertaa integraali välin \([0,a]\) yli.
parillinen sovellus.
Jos integroidaan välin [-a,a] yli, niin integraalia voi sieventää parittomien ja parillisten funktioiden tapauksessa.
5.4.3
Integraalilaskennan väliarvolause
5.4.4
Integraalilaskennan väliarvolause, todistus
Integraalilaskennan väliarvolause kahden funktion tulolle.
Integraalilaskennan väliarvolauseen yleistys tilanteeseen, jossa integrandina on kahden funktion tulo. Tuloksena saadaan toisen funktion painotettu keskiarvo integroimisvälillä.
Integraalilaskennan toinen väliarvolause.
Eräs esimerkki integraalilaskennan väliarvolauseen toisenlaisesta versiosta.
5.4.5
Paloittain jatkuvat funktiot
5.5.2
Analyysin peruslause, todistus
5.5.4
Analyysin peruslause, esimerkkejä
5.5.5
Analyysin peruslause, esimerkkejä2
5.5.6
Analyysin peruslause, esimerkkejä3
Analyysin peruslause, esimerkkejä.
Esimerkkejä analyysin peruslauseen käyttämisestä.
5.5.7
Leibnitzin integraalisääntö
5.6
Integrointi sijoittamalla
5.6.1
Transkendenttisijoitukset
Integrointi sijoittamalla 1.
Integroidaan sijoittamalla \(x\sin(x^2)\).
Integrointi sijoittamalla 2.
Integroidaan sijoittamalla \(\sin(3\ln(x))/x\).
Integrointi sijoittamalla 3.
Integroidaan määrätty integraali sijoittamalla. Muutetaan integroimisrajat.
Integrointi sijoittamalla 4.
Integroidaan määrätty integraali sijoittamalla. Tehdään takaisinsijoitus ja sen jälkeen sijoitetaan alkuperäiset integroimisrajat.
5.6.2
Integrointi sijoittamalla
Sinin ja kosinin tulon integroiminen 1.
Integroidaan \(\cos(x)^n\sin(x)\) ja \(\cos(x)\sin(x)^m\).
Sinin ja kosinin tulon integroiminen 2.
Integroidaan \(\cos(x)^n\sin(x)^m\), kun \(n\) tai \(m\) on pariton.
Sinin ja kosinin tulon integroiminen 3.
Yritetään integroida \(\cos(x)^n\sin(x)^m\), kun \(n\) ja \(m\) ovat parillisia.
Tasoalueen pinta-ala.
Funktioiden kuvaajien rajoittaman tasoalueen pinta-ala voidaan laskea integroimalla.
6.1.2
Osittaisintegrointi, esimerkkejä
Osittaisintegroidaan funktio ln(x).
Luonnollisen logaritmin integraalifunktio saadaan laskettua muun muassa osittaisintegroimalla.
Osittaisintegroidaan exp(x)sin(x).
Lasketaan funktion \(exp(x)sin(x)\) integraali. Tällöin joudutaan osittaisintegroimaan kahdesti.
6.2
Rationaalifunktion integroiminen
6.2.2
Jakoyhtälö, arkustangentti
Jakoyhtälö polynomeille.
Jos korkeampaa astetta oleva polynomi jaetaan matala-asteisemmalla, millainen polynomi on osamäärä ja millainen polynomi on jakojäännös?
Jakokulmassa jakaminen.
Palautetaan mieleen kuinka lukuja jaetaan jakokulmassa. Huomataan, että lukujen \(\frac{1}{7},\quad \frac{2}{7},\ldots\) desimaalikehitelmät koostuvat pätkistä "142857".
6.2.4
Osamurto, useampikertainen
Rationaalifunktion integroiminen 1.
Integroidaan \(\frac{1}{p(x)}\), jossa \(p(x)=(x-a)(x-b)\).
Rationaalifunktion integroiminen 2.
Integroidaan \(\frac{1}{p(x)}\), jossa \(p(x)=(x-a)^2(x-b)\).
Rationaalifunktion integroiminen 3.
Integroidaan monimutkainen rationaalifunktio.
6.2.5
Ekstra, neliöksi täydentäminen
Hornerin kaavio 1.
Jaetaan polynomi monomilla. Vaihtoehtoinen tapa polynomien jakokulmalle.
Hornerin kaavio 2.
Hornerin kaaviolla voidaan tehokkaasti laskea polynomin ja polynomin derivaatan arvo annetussa pisteessä.
Kantaluvun vaihtaminen.
Luku voidaan esittää eri kantalukujen avulla. Jos \(a6.3
Integrointi sijoituksen avulla
6.3.1
Yhteenveto transkendenttisijoituksista
Integrointi trigonometrisella sijoituksella.
Lasketaan esimerkkejä trigonometrisilla sijoituksilla.
6.4.1
Integrointi arvaamalla, esimerkki
6.5
Epäoleelliset integraalit
6.5.1
Tyyppi I: rajoittamaton väli
Epäoleellinen integraali rajoittamattoman välin yli.
Lasketaan epäoleellisia integraaleja.
p-integraali rajoittamattoman välin yli.
Integroidaan funktiota \(\frac{1}{x^p}\) välin \([a,\infty]\) yli.
6.5.2
Tyyppi II: rajoittamaton funktio
Epäoleellinen integraali rajoittamattomasta funktiosta.
Lasketaan epäoleellisia integraaleja.
p-integraali origon ympäristössä.
Integroidaan funktiota \(\frac{1}{x^p}\) välin \([0,a]\) yli.
6.5.3
Integraalien vertailuperiaate
Integraalien vertailuperiaate.
Jos integrandi on monimutkainen, sitä voidaan arvioida yksinkertaisemmaksi. Jos yksinkertaisemman funktion integraali on äärellinen tai ääretön, niin saadaan tietoa alkuperäisen integraalin äärellisyydestä.
Onko integraali äärellinen?.
Tarkastellaan esimerkkejä integraaleista, joiden arvo on äärellinen tai ääretön.
6.6
Puolisuunikas- ja keskipistemenetelmä
6.6.2
Vasen ja oikea päätepistemenetelmä
Päätepistemenetelmät ja puolisuunnikasmenetelmä.
Käydään läpi vasen ja oikea päätepistemenetelmä sekä näiden keskiarvo, puolisuunnikasmenetelmä.
Keskipistemenetelmä.
Tarkastellaan keskipistemenetelmää.
Epäoleellinen integraali numeerisesti.
Lasketaan epäoleellinen integraali numeerisesti. Integraali jaetaan integraaliksi äärellisen välin yli sekä häntäintegraaliksi. Integraali äärellisen välin yli osataan laskea numeerisesti. Häntäintegraalia tulisi osata arvioida.
6.7.1
Simpson, tilastollinen johto
6.7.2
Simpson, paraabelikonstruktio
Simpsonin menetelmä 1.
Simpsonin säännön johtaminen muista numeerisista integrointimenetelmistä.
Simpsonin menetelmä 2.
Simpsonin säännön soveltaminen eksponenttifunktion integraaliin.
Sinin arvoja.
Lasketaan arvoja \(sin\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg)\) muistikolmioiden avulla.
Bhaskaran approksimaatio.
Lasketaan arvoja \(sin\bigg(\frac{\pi}{n}\bigg)\) Bhaskaran approksimaation avulla.
Gaussin kvadratuuri.
Integraaleja voidaan laskea numeerisesti Gaussin kvadratuurilla.
7.1
Siivuttaminen ja pyörähdyskappaleet
Tilavuus siivuttamalla.
Jos tunnetaan kappaleen poikkileikkauksen pinta-ala joka kohdassa, voidaan kappaleen tilavuus laskea integroimalla.
7.1.2
Pyörähdyskappaleen tilavuus
Pyörähdyskappaleen tilavuus.
Pyörähdyskappaleen tilavuus voidaan laskea integroimalla.
7.1.3
Pyörähdyskappaleen tilavuus
7.3
Käyrän pituus ja pinnan ala
7.3.1
Funktion kuvaajakäyrän pituus
Käyrän pituus integroimalla.
Käyrän pituus voidaan laskea integroimalla.
Kartion pinnan ala.
Tarkastellaan kartion ja katkaistun kartion pinta-aloja. Tämä liittyy läheisesti pyörähdyskappaleen pinta-alan laskemiseen.
7.3.3
Pyörähdyskappaleen pinnan ala
Pyörähdyskappaleen pinta-ala.
Lasketaan pyörähdyskappaleen pinta-ala integroimalla.
Massakeskipisteen x-koordinaatti.
Perustellaan massakeskipisteen \(x\)-koordinaatin kaava.
Massakeskipisteen y-koordinaatti.
Perustellaan massakeskipisteen \(y\)-koordinaatin kaava.
Massakeskipiste Aurinko-Maa-systeemille.
Koko systeemin massakeskipiste saadaan osien massakeskipisteiden painotettuna keskiarvona.
Kolmion massakeskipiste.
Kolmion massakeskipiste sijaitsee mediaanien leikkauspisteessä.
Pappuksen tilavuuslause.
Pyörähdyskappaleen tilavuus voidaan laskea kertomalla massakeskipisteen kulkema matka alueen pinta-alalla.
Pappuksen tilavuuslauseen todistus.
Todistetaan Pappuksen tilavuuslause.
Pappuksen pinta-alalause.
Pyörähdyskappaleen tilavuus voidaan laskea kertomalla käyrän massakeskipisteen kulkema käyrän pituudella.
Pappuksen pinta-alalauseen todistus.
Todistetaan Pappuksen pinta-alalause.
7.9
1-kertaluvun differentiaaliyhtälöt
7.9.2
Separoituva differentiaaliyhtälö
7.9.3
Lineaarinen differentiaaliyhtälö
8.1
Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmiä
8.1.1
Frobeniuksen sarjamenetelmä
Frobeniuksen sarjamenetelmä.
Differentiaaliyhtälöitä voidaan ratkaista tekemällä yrite, joka on potenssisarja.
8.1.2
Picardin iteraatiomenetelmä
Picardin interaatiomenetelmä.
Differentiaaliyhtälöitä voidaan iteroiduilla integraaleilla.
8.1.3
Laplace-muunnos-menetelmä
8.2
Differentiaaliyhtälöiden hahmotusta
